Kesikli Sürekli İstatistiksel Dağılımları Türlerine Göre İnceleme

Kesikli ve sürekli istatistiksel dağılımlar (Discrete and continuous distributions), bir değişkenin hangi değerleri hangi olasılıkla aldığını tanımlar. Sayılabilen değerler (hatalı ürün adedi, çağrı sayısı) kesikli dağılımlarla, bir aralıktaki her değeri alabilen ölçümler (süre, boy, ağırlık) sürekli dağılımlarla modellenir. Excel'de her iki grup için de adı DAĞ ile biten işlevler vardır; bu sayfada türleri ayırmayı, doğru işlevi seçmeyi ve uygulamalı örnekleri bulacaksınız.

Kesikli ve sürekli dağılım arasındaki fark nedir​

Kesikli (ayrık) dağılımlar yalnızca sayılabilen değerler alan değişkenleri tanımlar: bir partideki kusurlu ürün sayısı, dakikada gelen çağrı sayısı gibi. Her değerin kendi olasılığı vardır ve tüm değerlerin olasılıkları toplandığında 1 elde edilir.

Sürekli dağılımlar ise bir aralıktaki her değeri alabilen değişkenleri tanımlar: teslim süresi, boy, ağırlık, sıcaklık gibi. Bu durumda tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; olasılık yalnızca bir aralık için hesaplanır ve yoğunluk eğrisinin altında kalan alanla ifade edilir. Excel'deki yoğunluk değeri bu nedenle olasılık değil, eğrinin o noktadaki yüksekliğidir.

• Kesikli dağılımlar: binom, Poisson, geometrik, negatif binom, hipergeometrik
• Sürekli dağılımlar: normal, log-normal, üstel, t, F, ki-kare, beta

Normal dağılım yalnızca sürekli dağılımlar arasında yer alır. Beta dağılımı ise 0 ile 1 arasında (ya da verilen iki sınır arasında) tanımlıdır; oran ve yüzde gibi değerler için kullanılır, normal dağılıma yakın bir dağılım değildir. Deneme sayısı büyüdüğünde binom dağılımının şekli normal dağılıma yaklaşır, ancak iki dağılım aynı şey değildir.

Excel'de dağılım işlevleri​

Dağılım işlevlerine Formüller > İşlev Kitaplığı > Diğer İşlevler > İstatistik (Formulas > Function Library > More Functions > Statistical) menüsünden ulaşabilirsiniz. İşlevlerin çoğunda son bağımsız değişken birikimli (cumulative) seçeneğidir: YANLIŞ girerseniz tek bir değerin olasılığı (kesikli dağılımlarda) ya da yoğunluk değeri (sürekli dağılımlarda), DOĞRU girerseniz o değere kadarki toplam olasılık döner.

• BİNOM.DAĞ (BINOM.DIST): Sabit sayıda denemede başarı sayısının olasılığı.
• POISSON.DAĞ (POISSON.DIST): Birim zamanda ya da alanda olay sayısının olasılığı.
• NEGBİNOM.DAĞ (NEGBINOM.DIST): Belirli sayıda başarıya ulaşmadan önceki başarısızlık sayısı.
• HİPERGEOM.DAĞ (HYPGEOM.DIST): İadesiz çekilişte örnekteki başarı sayısı.
• NORM.DAĞ (NORM.DIST), LOGNORM.DAĞ (LOGNORM.DIST), ÜSTEL.DAĞ (EXPON.DIST), BETA.DAĞ (BETA.DIST): Sürekli dağılımlar.
• T.DAĞ (T.DIST), F.DAĞ (F.DIST), KİKARE.DAĞ (CHISQ.DIST): Hipotez testlerinde kullanılan sürekli dağılımlar.

Binom dağılımında 10 denemede, her denemede 0,05 olasılıkla 2 kusurlu ürün çıkma olasılığı şöyle hesaplanır:
Normal dağılımda ortalaması 50, standart sapması 8 olan bir değişkenin 60 veya altında olma olasılığı için birikimli seçeneği DOĞRU girilir:
Geometrik dağılım için ayrı bir işlev yoktur; NEGBİNOM.DAĞ işlevinde başarı sayısını 1 girerek ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısının olasılığını bulabilirsiniz. Laplace dağılımı için de doğrudan bir işlev bulunmaz.

Verinize uygun dağılımı seçme​

Önce değişkenin sayım mı ölçüm mü olduğuna bakın; sayımlar kesikli, ölçümler sürekli dağılımlara yönelir. Ardından durumu aşağıdaki gibi eşleştirin:

• Sabit sayıda deneme, iki sonuç: binom dağılımı.
• Belirli bir sürede ya da alanda olay sayısı: Poisson dağılımı.
• İlk başarıya kadar deneme: geometrik ya da negatif binom dağılımı.
• İadesiz çekiliş: hipergeometrik dağılım.
• Ortalama etrafında simetrik çan eğrisi: normal dağılım.
• Sağa çarpık, yalnızca pozitif değerler (gelir, fiyat): log-normal dağılım.
• İki olay arasındaki süre: üstel dağılım.
• 0 ile 1 arasındaki oranlar: beta dağılımı.
• Küçük örneklemde ortalama testi, varyans oranı, uyum testi: sırasıyla t, F ve ki-kare dağılımları.

Veriniz ham haldeyse önce histogram çizip şeklini inceleyin; ORTALAMA ve standart sapma gibi özetler, normal dağılım varsayımının makul olup olmadığına karar vermenize yardımcı olur.

1. Binom dağılımı ile kusurlu ürün olasılığı​

Bir partide 10 ürün bulunuyor ve her ürünün kusurlu çıkma olasılığı 0,05. Kusurlu ürün sayısına göre tekil ve birikimli olasılıkları hesaplıyoruz. Parametreler E2 ve E3 hücrelerinde durur.
Partide hiç kusurlu ürün çıkmama olasılığı 0,5987, tam olarak iki kusurlu ürün çıkma olasılığı 0,0746 olarak hesaplanır. En çok bir kusurlu ürün çıkma olasılığı 0,9139, en az bir kusurlu ürün çıkma olasılığı ise %40,13 değerindedir. Kesikli dağılımda tekil olasılıklar gerçek olasılıktır ve tüm hata sayıları için toplandığında 1 eder.

2. Normal dağılımla teslim süresi olasılıkları​

Bir kargo firmasında teslim süresinin ortalaması 50 dakika, standart sapması 8 dakikadır. Sürekli dağılımda yoğunluk ve birikimli olasılığı yan yana görüyor, aralık olasılıklarını birikimli değerlerin farkıyla buluyoruz.
Teslimatın 40 dakika veya daha kısa sürmesi olasılığı %10,56, 60 dakika veya daha kısa sürmesi olasılığı %89,44 olarak bulunur. Teslim süresinin 40 ile 60 dakika arasında olma olasılığı %78,87, 60 dakikayı aşma olasılığı ise %10,56 değerindedir. B sütunundaki değerler olasılık değil yoğunluk eğrisinin yüksekliğidir; en yüksek değer ortalamaya denk gelen 0,0499 hücresindedir.

3. Poisson ve üstel dağılımı birlikte kullanma​

Bir çağrı merkezine dakikada ortalama 3 çağrı geliyor. Çağrı sayısı kesikli Poisson dağılımıyla, çağrılar arasındaki bekleme süresi sürekli üstel dağılımla modellenir. Ortalama çağrı oranı E2 hücresinde durur.
Bir dakikada tam 3 çağrı gelme olasılığı 0,2240, en fazla 3 çağrı gelme olasılığı 0,6472 olarak hesaplanır. Bir dakikada en az 5 çağrı gelme olasılığı %18,47 değerindedir. Aynı oranla üstel dağılım kullanıldığında, sonraki çağrının 30 saniye içinde gelme olasılığı %77,69, bekleme süresinin bir dakikadan uzun olma olasılığı %4,98 olur. Birinci tablo sayım (kesikli), ikinci hesap süre (sürekli) üzerinden çalışır.

Sık sorulan sorular​

Normal dağılım kesikli midir, sürekli mi? Sürekli bir dağılımdır. Kesikli dağılımlar arasında yer almaz; yalnızca binom gibi bazı kesikli dağılımlar büyük örneklemde ona yaklaşır.

Excel'de kesikli dağılımda birikimli seçeneği ne işe yarar? YANLIŞ girildiğinde tam olarak o değerin olasılığını, DOĞRU girildiğinde o değer ve altındaki tüm değerlerin toplam olasılığını verir. En az ya da en çok türü soruları bu şekilde çözersiniz.

Sürekli dağılımda bir değerin olasılığı neden sıfırdır? Bir aralıkta sonsuz sayıda değer bulunduğu için tek bir noktaya düşen olasılık sıfırdır. Olasılığı iki değer arasında, birikimli sonuçların farkı alınarak hesaplarsınız.

Poisson ile üstel dağılım nasıl ilişkilidir? Olaylar birim zamanda Poisson dağılımına uyuyorsa, iki olay arasındaki bekleme süresi üstel dağılıma uyar. Üçüncü örnekte iki dağılımı aynı oranla birlikte görebilirsiniz.

Kullanırken dikkat edin​

• Yoğunluk ile olasılığı karıştırmayın: Sürekli dağılımlarda birikimli seçeneği YANLIŞ olduğunda dönen değer olasılık değil yoğunluk değeridir ve 1'i aşabilir. Olasılık için birikimli seçeneğini DOĞRU yapın ve aralıklarda iki birikimli sonucun farkını alın.
• Kesikli işlevlerde tam sayı kullanın: BİNOM.DAĞ ve POISSON.DAĞ gibi işlevlerde başarı ya da olay sayısı tam sayı olmalıdır; ondalıklı girdiğinizde sayı tam sayıya indirgenir. Olasılık bağımsız değişkeni 0 ile 1 arasında, standart sapma ise sıfırdan büyük olmalıdır; aksi halde işlev hata verir.
• Kuyruk türüne dikkat edin: T.DAĞ gibi işlevlerde sonuç, belirttiğiniz değere kadar olan sol kuyruk olasılığıdır. Hipotez testlerinde sağ ya da iki kuyruklu olasılık gerekiyorsa işlevin ilgili kuyruk sürümünü seçin ya da sonucu 1 değerinden çıkararak hesaplayın.
• Eski ve yeni işlev adları: Excel 2010 ile birlikte gelen .DAĞ uzantılı işlevler, eski sürümlerdeki noktasız adlı karşılıklarının yerini aldı; eski işlevler uyumluluk için hala çalışır, ancak yeni çalışmalarda yenilerini kullanmanız önerilir.
• İlgili konular:
  • BİNOM.DAĞ, POISSON.DAĞ, NEGBİNOM.DAĞ, HİPERGEOM.DAĞ
  • NORM.DAĞ, NORM.TERS, LOGNORM.DAĞ, ÜSTEL.DAĞ, BETA.DAĞ
  • T.DAĞ, F.DAĞ, KİKARE.DAĞ
  • ORTALAMA
  • Histogram grafiği ve Veri > Veri Çözümleme (Data > Data Analysis) aracı

Örneklerdeki tabloları indirilebilir Excel dosyasında kendiniz de deneyebilirsiniz.